เรื่องโดย รวิศ ทัศคร
แฟร็กทัล (fractal) หรือสาทิสรูป เป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สะท้อนความซับซ้อนและความงดงามของธรรมชาติในระดับที่ลึกซึ้งที่สุด คำว่า “fractal” มาจากภาษาละติน “fractus” ที่แปลว่า “แตกออกเป็นส่วนย่อย” แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาและตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เบอนัวต์ ม็องแดลบร็อต (Benoît B. Mandelbrot) ในปี ค.ศ. 1975 มีการใช้แฟร็กทัลอธิบายโครงสร้างที่ซับซ้อนในธรรมชาติ เช่น กิ่งไม้ หิมะ เกลียวคลื่น รวมทั้งโครงสร้างทางชีววิทยา แต่กว่าที่แนวคิดนี้จะตกผลึกเป็นแฟร็กทัล ก็มีสิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในยุคก่อนหน้า
เซตคันเตอร์ (Cantor Set)
เกอ็อร์ค คานเทอร์ (Georg Cantor) พยายามหานิยามของความต่อเนื่อง จนปี ค.ศ. 1883 เขาได้คิดค้นเซตคันเตอร์ (Cantor Set) ซึ่งเซตคันเตอร์ถือเป็นหนึ่งในแฟร็กทัลแรก ๆ ที่ได้รับการศึกษาในเชิงคณิตศาสตร์และได้รับการตั้งชื่อตามนามสกุลของเขา แม้ว่าเฮนรี สมิท (Henry Smith) ศาสตราจารย์ด้านเรขาคณิตจากมหาวิทยาลัยออกซฟอร์ดเคยค้นพบเซตชนิดนี้มาก่อนแล้วในปี ค.ศ. 1875 แล้วก็ตาม วิธีสร้างเซตของคานเทอร์เริ่มต้นด้วยการใช้เส้นตรงหนึ่งเส้น จากนั้นนำส่วนตรงกลางของเส้นที่เป็นหนึ่งในสามออกไป เหลือไว้เพียงสองเส้นที่มีความยาวเท่ากัน ต่อมานำส่วนตรงกลางของแต่ละเส้นออกเช่นเดียวกัน ทำกระบวนการนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะได้เซตคันเตอร์ในที่สุด
เซตคันเตอร์เป็นอะไรที่แปลก มันไม่มีความยาวหรือพื้นที่ภายใน ในทางเทคนิคเรียกได้ว่า “มีค่าเป็นศูนย์” อาจอธิบายให้เห็นภาพได้ว่า ถ้าเราขว้างลูกดอกไปสุ่ม ๆ โอกาสที่มันจะสัมผัสกับเซตนี้จะมีค่าเป็นศูนย์อย่างไร้ขีดจำกัด นอกจากนี้เซตนี้ยัง “มีความหนาแน่นเป็นศูนย์” ซึ่งหมายความว่าแต่ละส่วนของมันประกอบไปด้วยช่องว่างเกือบทั้งหมด
เซตคันเตอร์
ที่มาของภาพ https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set
แต่ถึงแม้เซตนี้จะเป็นเพียงจุดที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสิ้นเชิง แต่มันกลับเป็นเซตที่ไม่สามารถนับจำนวนจุดได้ และที่สำคัญคือมันยังมีจำนวนจุดมากเท่ากับจำนวนจุดในเส้นตรงทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากตัวมันเอง ทุกจุดในเซตคันเตอร์เป็น “จุดสะสม” หรือ “จุดลิมิต” หมายความว่ามีจุดอื่น ๆ จากเซตเดียวกันนี้ล้อมรอบอยู่จำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในบริเวณใกล้เคียงไม่ว่าจะเล็กแค่ไหนก็ตาม อีกทั้งเซตคันเตอร์ยังรวมถึงจุดลิมิตทั้งหมดของมันเองด้วย ด้วยเหตุนี้คานเทอร์จึงเรียกมันว่า “เซตที่สมบูรณ์แบบ” (perfect set) ซึ่งหมายความว่าเซตนี้เท่ากับเซตของจุดลิมิตของมันเอง การมีอยู่ของเซตนี้แบ่งย่อยได้อย่างไร้ที่สิ้นสุด แต่กลับไม่มีความต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง ได้บังคับให้คานเทอร์ต้องปรับปรุงแนวคิดของเขาเกี่ยวกับความต่อเนื่องใหม่อีกครั้ง
เส้นโค้งเติมเต็มพื้นที่ของเปอาโน (Peano’s Space-Filling Curve)
ในศตวรรษที่ 19 บรรดานักคณิตศาสตร์กำลังค้นหาคำจำกัดความของมิติ จนกระทั่งเกิดความตื่นตัวครั้งใหญ่ราวปี ค.ศ. 1890 เมื่อจูเซปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) ได้ค้นพบสิ่งที่เรียกว่า “เส้นโค้งเติมเต็มพื้นที่” (space-filling curve) เปอาโนได้สร้างเส้นโค้งในอุดมคติที่มีความบิดเบี้ยวซับซ้อนจนเยี่ยมชมทุกจุดในระนาบได้ โดยไม่มีจุดใดบนระนาบที่เส้นโค้งของเปอาโนจะไม่ครอบคลุม
เส้นโค้งเติมเต็มพื้นที่ของเปอาโน
ที่มาภาพ : https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_curve
มิติทางโทโพโลยีและมิติของแฟร็กทัล
ปี ค.ศ. 1911 ลุยท์เซิน เบราเวอร์ (Luitzen Brouwer) ได้พิสูจน์ว่าไม่มีการจับคู่ (mapping) ในลักษณะดังกล่าวได้ มิติเป็นค่าคงที่ทางทอพอโลยี (topological invariant) ซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยการแปลงรูปอย่างต่อเนื่อง นำไปสู่การให้คำจำกัดความของมิติของรูปร่างหรือพื้นที่ ซึ่งเรียกว่า มิติทางทอพอโลยี (topological dimension)
อีกแนวทางหนึ่ง เฟลิคซ์ เฮาส์ดอร์ฟ (Felix Hausdorff) ได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับมิติที่มุ่งเน้นไปยังลักษณะสำคัญของวิธีที่รูปร่างเติมเต็มพื้นที่รอบตัว เฮาส์ดอร์ฟได้พัฒนาวิธีวัดซึ่งขยายความคิดเชิงมิติของเราไปอีกขั้น สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อนซึ่งแตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิด (euclidean geometry) ทั่วไป แนวทางของเฮาส์ดอร์ฟนำไปสู่การคำนวณมิติในรูปแบบของเศษส่วนสำหรับการมีอยู่ของวัตถุที่มีมิติหนึ่งครึ่ง (one-and-a-half-dimensional objects) แล้วรูปร่างจะอยู่ระหว่างมิติได้อย่างไร คำตอบคือ โดยการเป็นแฟร็กทัลนั่นเอง
ความเหมือนซ้ำในตัวเอง (Self-Similarity)
เซตคันเตอร์นั้นประกอบด้วยสำเนาขนาดเล็กสองชุดของตัวมันเอง คุณสมบัตินี้เรียกว่า ความเหมือนซ้ำในตัวเอง
เส้นตรงใด ๆ จะมีส่วนที่เป็นเส้นตรงเหมือนกันกับทั้งเส้น ยกเว้นเพียงแค่ปัจจัยการปรับมาตราส่วน แต่ในทางกลับกัน ส่วนโค้งของวงกลมไม่ใช่วงกลม และด้านของสามเหลี่ยมก็ไม่ได้มีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยม รูปร่างแบบยูคลิดทั่วไปส่วนใหญ่ไม่ได้มีคุณสมบัตินี้
อย่างไรก็ตามในธรรมชาติรอบตัวเราจะเห็นความเหมือนซ้ำในตัวเองได้ทั่วไป อย่างเช่น ต้นไม้ เมฆ ภูเขา ต่างก็มีลักษณะคล้ายกับส่วนที่เล็กกว่าของตัวมันเอง รูปร่างเหล่านี้มีความซับซ้อนอย่างมากเมื่ออธิบายในเชิงของยูคลิด แต่กลับมีความสัมพันธ์กับสิ่งที่เรียกว่า “รูปร่างแฝง” (pathological shapes) ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โดยแสดงลวดลายที่ซ้อนกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทุกระดับของมาตราส่วน
เส้นโค้งของค็อค (The Koch Curve)
หนึ่งในรูปร่างแฝงดังกล่าว คือ เส้นโค้งรูปเกล็ดหิมะ (snowflake curve) ซึ่งคิดค้นโดยเฮ็ลยะ ฟ็อน ค็อค (Helge von Koch) ในปี ค.ศ. 1904 เขาได้กำหนดให้เส้นโค้งนี้เป็นขอบเขตของลำดับเส้นโค้งที่มีความคดเคี้ยวเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด เส้นโค้งที่เสร็จสมบูรณ์จะมีความยาวไม่สิ้นสุด แม้จะถูกจำกัดให้อยู่ในพื้นที่จำกัดก็ตาม เส้นโค้งนี้ไม่มีเส้นสัมผัสหรือความราบเรียบในบริเวณใดเลย
การตัดเส้นโค้งนี้ที่มุมบางมุมจะเผยให้เห็นเซตคันเตอร์ที่ซ่อนอยู่จำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในตัวมัน สิ่งที่ค็อคไม่ได้ตระหนักในขณะนั้นคือ เส้นโค้งที่มีความยาวไม่จำกัดแบบนี้จะกลายเป็นแบบจำลองที่สมบูรณ์แบบของรูปร่างในโลกจริงรอบตัวเรา เช่น ชายฝั่งทะเล หลอดเลือดแดง
เซตคันเตอร์ประกอบด้วยสำเนาขนาดหนึ่งในสาม จำนวน 2 ชุดของตัวมันเอง เส้นตรงแบ่งออกเป็นสำเนาขนาดหนึ่งในสาม จำนวน 3 ชุดของตัวมันเอง เส้นโค้งของค็อคประกอบด้วยสำเนาขนาดหนึ่งในสาม จำนวน 4 ชุดของตัวมันเอง ในขณะที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบขึ้นจากสำเนาขนาดหนึ่งในสาม จำนวน 9 ชุดของตัวมันเอง ในบางแง่เส้นโค้งของค็อคอยู่ระหว่างเส้นตรงและสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันครอบครองพื้นที่มากกว่าเส้นตรง แต่กินพื้นที่น้อยกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นเส้นโค้งของค็อคจึงอยู่ในตำแหน่งระหว่างมิติที่หนึ่งและมิติที่สองในทางใดทางหนึ่ง ซึ่งอธิบายได้อย่างชัดเจนด้วยแนวคิด มิติแห่งความคล้ายคลึงกัน (similarity dimension)
เกล็ดหิมะค็อค
มิติแห่งความคล้ายคลึงกันและมิติของแฟร็กทัล
ลูกบาศก์ ซึ่งเป็นวัตถุที่มีสามมิติ สามารถแบ่งย่อยออกเป็นลูกบาศก์ขนาดครึ่งหนึ่งจำนวนแปดก้อน (สองยกกำลังสาม) หากเราทราบมิติของวัตถุ จะใช้พลังหรือเลขยกกำลัง (exponent) เพื่อคำนวณจำนวนสำเนาขนาดเล็กที่วัตถุนั้นประกอบขึ้น โดยมีขนาดที่เฉพาะเจาะจง รูปร่างที่มีมิติจำนวน n จะประกอบด้วยสำเนาขนาด (1/m) ของตัวมันเองจำนวน mⁿ ซึ่งเป็นการขยายความของแนวคิดเรื่องมิติ ที่อนุญาตให้ค่ามิติเป็นเลขเศษส่วนได้ ทั้งนี้ลอการิทึม (logarithm) คือการย้อนกลับของเลขยกกำลังหากเราทราบจำนวนสำเนาขนาดเล็กที่วัตถุประกอบด้วย และทราบขนาดสัมพัทธ์ (relative size) ก็จะใช้ลอการิทึมคำนวณมิติของวัตถุได้ โดยมิตินั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเลขจำนวนเต็มเสมอไป ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งของค็อคประกอบด้วยสำเนาขนาดหนึ่งในสามของตัวเองจำนวน 4 ชุด มิติของมันจึงคิดได้จาก log4/log3 ซึ่งประมาณ 1.26 เซตคันเตอร์ประกอบด้วยสำเนาขนาดหนึ่งในสามของตัวเองจำนวน 2 ชุด มิติของมันจึงคิดได้จาก log2/log3 ซึ่งประมาณ 0.63
ในปี ค.ศ. 1919 เฮาส์ดอร์ฟได้ขยายแนวคิดของมิติแห่งความคล้ายคลึงกันให้ครอบคลุมถึงรูปร่างทุกชนิด ไม่ใช่แค่รูปร่างที่เหมือนซ้ำในตัวเองแบบสมบูรณ์เท่านั้น โดยทั่วไปรูปร่างของแฟร็กทัลที่อยู่ระหว่างมิติต่าง ๆ จะมีมิติแบบเศษส่วนในแบบของมิติของเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff dimension) เนื่องจากคำอธิบายของเฮาส์ดอร์ฟแยกแยะระหว่างรูปร่างแฟร็กทัลกับรูปร่างที่ไม่ใช่แฟร็กทัลได้ มิตินี้จึงเรียกกันทั่วไปว่า “มิติของแฟร็กทัล” (fractal dimension) ซึ่งบ่งบอกถึงความซับซ้อนของแฟร็กทัลในวัตถุ ตัวอย่างเช่น ชายฝั่งทะเลของเกาะอังกฤษมีมิติของแฟร็กทัลประมาณ 1.26 ซึ่งใกล้เคียงกับเส้นโค้งของค็อค แต่ต่ำกว่าขอบของก้อนเมฆทั่วไปเล็กน้อย (ประมาณ 1.35) ในมาตราส่วนนี้มิติเท่ากับ 1 หรือเส้น หมายถึงความเรียบเนียนโดยสมบูรณ์ ขณะที่เมื่อค่ามิติใกล้เคียง 2 หรือพื้นที่ จะบ่งบอกถึงความซับซ้อนของแฟร็กทัลที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี (Sierpiński triangle) มีมิติแฟร็กทัลประมาณ 1.58 ซึ่งสะท้อนความซับซ้อนของโครงสร้าง
สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี
มิติของเฮาส์ดอร์ฟเป็นเพียงเครื่องมือในทางทฤษฎี จนกระทั่งมีการนำกลับมาใช้งานอีกครั้งโดยม็องแดลบร็อตผู้มีวิสัยทัศน์ที่ก้าวล้ำ เขาตระหนักว่าเครื่องมือนี้เหมาะสมอย่างยิ่งที่จะใช้อธิบายความไม่เป็นระเบียบของธรรมชาติ เขาได้คิดค้น ม็องแดลบร็อตเซต (Mandelbrot set) ซึ่งเป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่โด่งดังที่สุด แสดงถึงความซับซ้อนแบบไม่มีที่สิ้นสุด (infinite complexity) แบบขยายไปได้ไม่มีที่สิ้นสุดในทางทฤษฎี โดยไม่สูญเสียรายละเอียด
การประยุกต์ใช้แฟร็กทัลในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
แฟร็กทัลเอามาใช้ในทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมได้มากมาย เช่น การใช้เรขาคณิตแบบแฟร็กทรัล หรือเรขาคณิตสาทิสรูป (fractal geometry) ออกแบบเสาอากาศและสายส่งในวงจรรวมความจุสูงมาก (VLSI) หรืออุปกรณ์ไมโครอิเล็กทรอนิกส์ขนาดเล็กมาก การใช้รูปทรงแฟรกทัล เช่น สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี, เส้นโค้งของค็อค ช่วยเพิ่มความยาวของสายส่งในพื้นที่จำกัดได้ นอกจากนี้การออกแบบโดยใช้แฟร็กทัลยังช่วยลดการรบกวนทางไฟฟ้า (electromagnetic interference) และเพิ่มความถี่ในการสื่อสารอีกด้วย
ในอุตสาหกรรมเซมิคอนดักเตอร์ ในการผลิตชิ้นส่วนเซมิคอนดักเตอร์ ผิวสัมผัสมีผลต่อคุณสมบัติของอุปกรณ์ การใช้มิติแฟร็กทัลวิเคราะห์พื้นผิวจะช่วยให้เข้าใจการแพร่กระจายของกระแสหรือพฤติกรรมของอิเล็กตรอนได้ดีขึ้น และยังมีการวิจัยการใช้โครงสร้างแบบแฟรกทัลในลวดนาโนสารกึ่งตัวนำ (semiconductor nanowire) ผลึกโฟโตนิกส์ (photonic crystal) และหัวหมุดควอนตัม (quantum dot) เพื่อควบคุมคุณสมบัติทางแสงและทางไฟฟ้า โครงสร้างแฟรกทัล เช่น พรมเซียร์ปินสกี (Sierpinski carpet), เกล็ดหิมะค็อค (Koch snowflake) ต้นไม้แฟร็กทัล (fractal tree) นำมาใช้ในโครงสร้างต่าง ๆ ที่ต้องการดักพลังงานแสง หรือในแบบของขั้วอิเล็กโทรดเพื่อเพิ่มการดูดกลืนแสงเพราะโครงสร้างแฟรกทัลมีความเหมือนซ้ำในตัวเอง ซึ่งหมายถึงว่าแม้จะซูมเข้าไปลึกแค่ไหนก็ยังเห็นรูปแบบคล้ายเดิมอยู่ จึงกระเจิงแสง (scattering) ได้หลายสเกลพร้อมกัน และดูดกลืนแสงได้ดีขึ้นในหลายความยาวคลื่น
การทำสายอากาศแบบแฟร็กทัล (fractal antenna) ในเซลล์แสงอาทิตย์ชนิดสารอินทรีย์ (organic photovoltaics: OPVs) จะช่วยเพิ่มการจับคลื่นแสงในช่วงอินฟราเรด การใช้ขั้วไฟฟ้าที่มีลวดลายแบบแฟร็กทัล (fractal patterned electrode) แทนตาข่ายโลหะ โดยให้ลวดลายแฟรกทัลกระจายไฟฟ้าได้ทั่วแผ่นโดยไม่บดบังแสงมากเกินไป หรือการใช้พื้นผิวที่มีลวดลายแบบแฟร็กทัลบนผิวซิลิคอนหรือวัสดุฟิล์มบางเพื่อปรับเงื่อนไขของกระบวนการกัดและเคลือบผิว (etching/coating processes) ให้ดีที่สุด ช่วยให้แสงสะท้อนน้อยลงและมีโอกาสถูกดูดซึมมากขึ้น
นักวิจัยยังได้เสนอการใช้โครงสร้างแฟร็กทัลแบบแผ่นเซียร์ปินสกีนาโน (Sierpinski nano carpet) ที่ทำจากโครงสร้างของโลหะเงินเป็นสันเล็กจิ๋วระดับนาโน (silver nano-ridge) เพื่อเพิ่มการดูดกลืนแสงในเซลล์แสงอาทิตย์แบบฟิล์มบาง ผลการศึกษาพบว่าช่วยเพิ่มกระแสไฟฟ้าวงจรสั้นได้ถึงร้อยละ 109 เมื่อเทียบกับเซลล์ที่มีพื้นผิวเรียบ
นอกจากนี้ยังมีการนำโครงสร้างแฟรกทัลที่เลียนแบบการจัดเรียงใบไม้ในพืชมาใช้ในการจัดเรียงแผงโซลาเซลล์ พบว่าเพิ่มการผลิตพลังงานไฟฟ้าได้ถึงร้อยละ 25 ต่อวัน เนื่องจากมีการดักจับแสงที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น
ในทางอุตสาหกรรมอาหาร มีการใช้การวิเคราะห์มิติของแฟร็กทัลร่วมกับเทคนิคการถ่ายภาพชนิดต่าง ๆ เช่น กล้องจุลทรรศน์อิเลกตรอนแบบกวาด (SEM), กล้องจุลทรรศน์แบบโฟกัสร่วมที่ใช้เลเซอร์ในการสแกน (confocal laser scanning microscopy: CLSM), และเครื่องถ่ายภาพรังสีเอ็กซ์ด้วยคอมพิวเตอร์ (X-ray micro-computed tomography: X-ray μCT) วิเคราะห์พื้นผิวในระดับจุลภาคของวัสดุอาหาร โดยอาจเอาไปใช้งานได้หลากหลายกรณี เช่น หาความสัมพันธ์ระหว่างมิติของแฟร็กทัลกับปริมาณน้ำมันที่หลงเหลืออยู่บนพื้นผิวของอาหารทอด เพื่อดูการปรับสูตรส่วนผสมของแป้งชุบทอดว่าหากใช้ส่วนผสมของแป้งสาลีมากหรือแป้งข้าวเจ้ามาก อันไหนจะส่งผลให้มีค่ามิติของแฟร็กทัลของพื้นผิวมากกว่ากัน, ใช้วิเคราะห์ลักษณะพื้นผิวของผลิตภัณฑ์อาหารที่มีความขรุขระ เช่น คอร์นเฟลก เม็ดผงกาแฟสำเร็จรูป เม็ดแป้ง, โครงสร้างของเจล เช่น เจลของเคซีน, กลุ่มของโปรตีนนมที่จับตัวกัน หรือรูปแบบของการผสมในการไหลแบบปั่นป่วน
การวิเคราะห์มิติแฟร็กทัลยังใช้เป็นเครื่องมือคัดและควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ผลไม้ได้ มีงานวิจัยหลายที่ใช้วิเคราะห์ระดับการช้ำของผิวกล้วย คณะวิจัยของคนไทยเราจากมหาวิทยาลัยแม่ฟ้าหลวงใช้วิเคราะห์รอยช้ำของผลฝรั่งที่มีการตกกระแทกพื้น นอกจากนี้ยังใช้วิเคราะห์การตกผลึกในระบบอาหารได้ด้วย
นอกจากการใช้งานด้านคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยีแล้ว แฟร็กทัลยังสะท้อนแนวคิดทางปรัชญาและจิตวิญญาณในหลายวัฒนธรรม รูปแบบซ้ำซ้อนของแฟร็กทัลเชื่อมโยงกับแนวคิดของความไม่มีที่สิ้นสุดและการเชื่อมต่อระหว่างมนุษย์กับธรรมชาติ เช่น ลวดลายในศิลปะมานดาลา (Mandala) แฟร็กทัลเป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของการเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ ด้วยความซับซ้อนและความสวยงามของโครงสร้าง แฟร็กทัลจึงไม่เพียงแต่เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี แต่ยังเป็นแรงบันดาลใจที่ก่อให้เกิดความคิดสร้างสรรค์หลากหลายรูปแบบ โลกของแฟร็กทัลจึงเป็นโลกที่น่าค้นหาและเรียนรู้ไม่รู้จบ
แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- Kazerooni, H., & Khavasi, A. (2014). Plasmonic fractals: ultrabroadband light trapping in thin film solar cells by a Sierpinski nanocarpet. Optical and Quantum Electronics, 46, 751-757. (https://link.springer.com/article/10.1007/s11082-013-9783-0)
- Sim, Y. H., Yun, M. J., Cha, S. I., & Lee, D. Y. (2020). Fractal solar cell array for enhanced energy production: applying rules underlying tree shape to photovoltaics. Proceedings of the Royal Society A, 476(2239), 20200094. (https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2020.0094?utm_source=chatgpt.com)
- Bhuiyan, M. H. R., & Ngadi, M. (2024). Application of batter coating for modulating oil, texture and structure of fried foods: A review. Food Chemistry, 139655.
- Barrett, A. H., & Peleg, M. (1995). Applications of fractal analysis to food structure. LWT-Food Science and Technology, 28(6), 553-563.
- Al-Dairi, M., Pathare, P. B., Al-Yahyai, R., Jayasuriya, H., & Al-Attabi, Z. (2024). Banana fruit bruise detection using fractal dimension based image processing. Food chemistry, 455, 139812. (https://doi.org/10.1016/j.foodchem.2024.139812)
- Htike, T., Saengrayap, R., Kitazawa, H., & Chaiwong, S. (2024). Fractal image analysis and bruise damage evaluation of impact damage in guava. Information Processing in Agriculture, 11(2), 217-227. (https://doi.org/10.1016/j.inpa.2023.02.004)
- Joshi, B., Beccard, S., & Vilgis, T. A. (2018). Fractals in crystallizing food systems. Current Opinion in Food Science, 21, 39-45.
About Author
